2020年高联一试11题的七种解法

2020年高中数学联赛一试11题为：

求反比例函数xy=1内接等腰直角三角形面积的最小值。

拿到这个问题，我先画个草图。最自然的思路是设出三个点的坐标，由直角和等腰各得一个等式，然后用坐标表示出面积，用两个等式消去未知数，变为一元函数，然后求最值。

似乎有希望，所以就先按这个思路做下去看看：

解法一：

设A为直角顶点，各点坐标为

A（a,1/a）,B(b,1/b),C(c,1/c)，

则AB斜率为

这样本题就用最“笨”的方法解出来了。

上述解法虽然很笨拙，但是思路很自然，也没有特别复杂的运算和高超的技巧，只要没有计算错，就能得到最终结果。估计也是考场中最常见的解法。

此题的思路基本就是：

(1) 由等腰直角得到约束条件，

(2) 然后消元得到面积的一元函数表达式，

(3) 最后求出面积最小值。

上述过程最大的难点在于对(2)式的化简，用a表示b，除了上述十字相乘法，当然也可以用求根公式解此一元二次方程。

下面的想法当然是看看上述解答中，某些部分还能不能改进，还有没有其他的思路。

首先看看f(t)的最小值，除了求导以外，还有其他的办法吗？

这个换元自然而奇妙，结果也很巧合，转化为经典的三角最值问题，用均值不等式解决很漂亮也是很常见的。

还有一个换元的思路时分子分母同除以t^3,引入t+1/t,不过最后表达式虽然比较简洁，基本还是要用导数来解决，感觉意义不大，这里就不再赘述。

所以整体而言，求f(t)最值的方法基本就上述两种，我觉得两种方法不相上下、各有千秋。

下面的想法是此题求面积表达式的方法，除了上述最自然的思路外。还有其他更简洁精妙的吗？

网上见到最多的是复数的解法，复数思路还算是自然，因为复数的优势在于旋转，而等腰直角就是一个腰旋转90°到另一个腰，从而得到复数的解法如下：

解法二：

在复平面内，设A（a,1/a），设AB对应的复数为x+yi,则AC对应的复数为(x+yi)i=xi-y,

从而得到B，C的坐标为B(a+x,1/a+y),C(a-y,1/a+x)。由B、C在xy=1上得到

1=(a+x)(1/a+y)=(a-y)(1/a+x)，

容易解得x,y为

从而得到面积表达式为

最终殊途同归，得到了相同的面积表达式，下面通过求导或者三角换元求最值即可。

不难发现，上述复数解法有些地方跳步，不过运算量还是小了一些。

上述复数解法的关键是很好的利用了等腰直角三角形旋转这个性质。

要巧妙的使用这个性质，其实还有一个更自然的第三种思路——直线的参数方程。

解法三：

设A（a,1/a），AB的参数方程为

x=a+tcosθ,y=1/a+tsinθ。

由B在xy=1上得到

1=(a+tcosθ)(1/a+tsinθ)=1+t2sinθcosθ

+atsinθ+tcosθ/a，

容易解得t为

最终貌离神合，得到了和几乎上述三角换元相同的表达式，也算是在意料之中。

上述两种解法比较，我觉得参数方程似乎更自然、更合理。

下面看一下官方提供的参考答案的方法，如下，

解法四：

参考答案是用向量解决的，其实在没有引入向量的数量积之前，向量本质和复数是相同的。其中的s,t就相当于复数解法的x,y,只是他没有用a表示s,t,反而是消去了a,得到了s,t的等式。

然后用均值不等式得到了的s^2+t^2,即面积的最小值。可以说此解法和上述解法二、三异曲同工，只是看起来技巧性更强。

上述四种解法基本都是基于计算得到的，能不能用一些等轴双曲线的几何性质来解决本题呢？

考完试以后，我校学生晁一沣给我说，他在网上看到有人做出直角顶点的切线，几乎用等轴双曲线的几个几何性质得到了结果。

我按这个思路想了一下，感觉确实直角顶点切线很有用。因为等轴双曲线最著名的性质就是布利安香-彭色列定理：等轴双曲线内接三角形的垂心也在此双曲线上。

这个前面多次提到了，其实也很容易。

证明：和证法一类似，对任意△ABC设各点坐标为A（a,1/a),B(b,1/b),C(c,1/c)。

则AB斜率为-1/(ab),

其上点H(h,1/h)满足AH⊥BC，则

-1/(cb)=ah,h=-1/(abc),

此坐标关于a,b,c对称，故BH⊥AC,

从而H为ABC垂心，证毕！

由切线是割线的极限知本题中A处的切线垂直BC，即AB和A处切线夹角为45°，

利用此结论，就能得到关于a,b的一个等式，解出b即可，这就得到了一种新的解法。

解法五：

依题意由布利安香-彭色列定理知AB和A处切线夹角为45°，

设各点坐标为A（a,1/a),B(b,1/b)，则

AB斜率为-1/(ab),

将b换为a,从而得到A处切线斜率为-1/a^2,

由到角公式得到

从而解出b,得

自此转化到解法一，

下面带入面积表达式即可。

不难发现本解法利用此定理，大大简化了运算，算是一个漂亮的数形结合的案例。

而且此解法还给出了一个以A为直角顶点的等腰直角三角形的准确的作图方法：

做出过A的切线，顺时针和逆时针各旋转45°和此双曲线交点B、C即为满足条件的点B、C。

后来，晁一沣又给我提供了一个偏几何的解法，要用到等轴双曲线的三个性质：

1 布利安香-彭色列定理，

2 四边形的欧拉—彭色列点，即等轴双曲线内接三角形九点圆过原点。

3 双曲线某点处的切线与渐近线围成的三角形面积为定值ab,其中a,b为其半实轴和半虚轴长。且切点为切线与渐近线两交点中点。

上述性质这里略去证明。

解法六：

如上图，设A处切线交x,y轴于D,E,线段BC中点为F，OA=r,∠OAE=θ,

由上述性质1知AF为双曲线过A的切线。

由性质2知∠FOA=90°,

由性质3知△ODE面积为2且AO=AD=AE。

从而得到

百川汇海，这里又得到了与上述三角换元相同的面积表达式，以下用均值不等式即可求出最值。

解法六充分利用等轴双曲线的几何性质，大大简化了运算。不过最终还是需要得到面积表达式，用代数方法求出最值。而且理论上这些性质在考场上都是需要证明的，这样本解法的篇幅就相当大了。所以比较而言，此解法的优势也不是很明显。

后来我校学生梁石易新提出，利用到角公式解法五还能再改进，不需要用布利安香-彭色列定理。利用夹角45°，由可以简化运算。从而得到以下解法：

解法七：

设各点坐标为A（a,1/a),B(b,1/b),C(c,1/c)，则

AB,BC斜率为-1/(ab),-1/(cb),

自此转化到解法一，

下面带入面积表达式即可。

上面收集了此题七种不同的解法，要么偏于计算，要么利用一些几何性质。当然最终万法归宗，还是要把面积表示成某个变量的函数，用均值不等式或者导数求出最值。比较而言，我感觉解法七似乎最简洁明了。

唯一感觉美中不足之处是没有找到面积的几何意义，没有得到本题的纯几何解法。

当然本题还有一些问题可以思考，例如对于一般的等轴双曲线，本问题的结论是什么？以及还可以考虑等轴双曲线内接其他特殊三角形（如正三角形）的面积最小值问题等。

希望万能的读者畅所欲言，提供更精妙的思路和解法。